diff --git a/documents/eaz/eaz.pdf b/documents/eaz/eaz.pdf index 2be1441..0b02492 100644 Binary files a/documents/eaz/eaz.pdf and b/documents/eaz/eaz.pdf differ diff --git a/documents/eaz/eaz.tex b/documents/eaz/eaz.tex index f4614db..ddd9c33 100644 --- a/documents/eaz/eaz.tex +++ b/documents/eaz/eaz.tex @@ -127,8 +127,9 @@ \section*{Unendlich viele Primzahlen} \begin{satz}{Euklid}{} Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler, -aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er mit $n!$ -auch $1=m-n!$ teilen. Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$ +aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er wegen +$p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen. +Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$ \end{satz} \begin{satz}{Euler} @@ -146,16 +147,16 @@ Es gilt: \begin{satz}{Dirichlets Primzahlsatz}{} Es sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Dann gibt es unendlich viele -Primzahlen $p \cong 1 \mod n$. +Primzahlen $p \equiv 1 \mod n$. \end{satz} \section*{Sylowsätze} -\begin{satz}{Erster Sylowsatz} +\begin{satz}{Erster Sylowsatz}{} Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Dann existiert in $G$ mindestens eine $p$-Sylowgruppe. \end{satz} -\begin{satz}{Zweiter Sylowsatz} +\begin{satz}{Zweiter Sylowsatz}{} Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Weiter sei $\#G = p^e \cdot f$ die Zerlegung von $\#G$ in eine $p$-Potenz und eine Zahl $f$, die kein Vielfaches von $p$ ist. @@ -206,15 +207,6 @@ Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei \item 2 ist quadratischer Rest modulo 7, da: $2 \equiv 3^2 \mod 7$ \end{itemize} -\subsection*{Weiteres} -\begin{itemize} - \item Die Charakteristik eines endlichen Körpers $F$ ist eine Primzahl - $p$ und $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ist ein Teilring von $F$. - \item Die Kardinalität von $F$ ist eine Potenz vom $p$. - \item $F^\times$ ist zyklisch. - \item $F$ ist ein Restklassenkörper des Polynomrings $\mathbb{F}_p [X]$ -\end{itemize} - \section*{Elementarteiler} Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt: \begin{itemize} @@ -225,35 +217,11 @@ Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt: \section*{Weiteres} Finden von Zerlegungen von Elementen im Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] := \Set{a + b \sqrt{d} | a, b \in \mathbb{Z}}$: -Es sei -\begin{align*} - |\cdot|:\mathbb{Z}[\sqrt{d}] &\rightarrow \mathbb{R}_0^+\\ - |x + y \cdot \sqrt{d}| &:= \sqrt{x^2 + y^2 |d|} -\end{align*} - -und - \begin{align*} N: \mathbb{Z}[\sqrt{d}] &\rightarrow \mathbb{N}_0\\ - N(z) &:= |z|^2 -\end{align*} -und die Konjugation: -\[\overline{x+ y \sqrt{d}} = \begin{cases}x - y \sqrt{d} &\text{, falls } d < 0\\x + y \sqrt{d} &\text{, falls } x \geq 0\end{cases}\] - -Die Konjugation ist multiplikativ: -\[\overline{wz} = \overline{w} \cdot \overline{z}\] - -Außerdem gilt: -\begin{align*} - N(\pi) &= x^2+y^2 |d|\\ - &= (x+y\sqrt{d}) \cdot (x+\frac{d}{|d|}y\sqrt{d})\\ - &= \pi \cdot \overline{\pi} + N(a+b \sqrt{d}) :&= |(a+b\sqrt{d})(a-b \sqrt{d})|\\ + &= |a^2-b^2 d| \end{align*} - -In alten Klausuren begegnen uns desöfteren Ringe der Form . -In diesem Zusammenhang begegnet uns die Normabbildung. -(Ein Beispiel, das in der Vorlesung gesehen wurde, waren die gauß'schen Zahlen.) - -Wie können wir die Norm dafür benutzen, um Zerlegungen von Elementen zu finden oder deren Unzerlegbarkeit zu zeigen? +$a$ ist irreduzibel $\Leftrightarrow N(a)$ ist prim \end{document} diff --git a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.png b/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.png index f31c01e..777ce4e 100644 Binary files a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.png and b/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.png differ diff --git a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.svg b/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.svg deleted file mode 100644 index fc98774..0000000 --- a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.svg +++ /dev/null @@ -1,2209 +0,0 @@ - - - - - - - - image/svg+xml - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - diff --git a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.tex b/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.tex index f52c708..e48de58 100644 --- a/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.tex +++ b/tikz/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph/informatikstudium-kit-abhaengigkeitsgraph.tex @@ -52,7 +52,11 @@ soft/.style ={rectangle, draw=red, thick, fill=red!20,align=center, rounded corn \node[pflicht] (pse) [left of=os] {PSE}; \node[soft] (tse) [left of=pse] {TSE}; - \node[pflicht] (algii) [below of=tgi] {Algorithmen II}; + \node[pflicht] (numerik) [below of=pse] {Numerik}; + \node[pflicht] (datenbanken) [right of=numerik] {Datenbanken}; + \node[pflicht] (rechnernetze) [below of=wt] {Rechnernetze}; + + \node[pflicht] (algii) [right of=datenbanken, below of=datenbanken] {Algorithmen II}; \node[wahl] (icpc) [below of=algii] {ICPC}; @@ -67,6 +71,7 @@ soft/.style ={rectangle, draw=red, thick, fill=red!20,align=center, rounded corn \path[->] (dt) edge node[anchor=center,above,sloped] {\tiny{Zahlendarstellungen}} (ro); \path[->] (lai) edge[ultra thick] node[anchor=center,above,sloped] {\tiny{Gruppe, Körper, \dots}} (laii); \path[<->] (lai) edge node {} (gbi); + \path[->] (lai) edge node[anchor=center,above,sloped] {\tiny{Matrixmultiplikation; Lösen von linearen Gleichungssystemen}} (numerik); \path[<->] (gbi) edge[bend left] node [anchor=center,above,sloped] {\tiny{Induktion}} (anai); \path[->] (anai) edge[ultra thick] node {} (anaii); \path[->] (laii) edge[bend left] node[anchor=center,above,sloped] {\tiny{Mathematische Strukturen}} (algii);