tex-projects/LaTeX-examples
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documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -701,7 +701,7 @@ $\qed$
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/neighbourhood-topology-open}
\caption{\todo[inline]{Beschreibung}}
\caption{Die blaue Umgebung ist Schnitt vieler Umgebungen}
\end{figure}
Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$
@ -712,7 +712,7 @@ $\qed$
Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$.
Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit
$\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X \Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\text{Ein grün-oranges Kästchen}} \supseteq X \times Y$\\
$\Rightarrow U_j U_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
$\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
@ -721,7 +721,7 @@ $\qed$
\end{korollar}
\begin{beweis}
\underline{z.~Z.: Komplement ist offen}
\underline{z.~Z.:} Komplement ist offen
Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei
$y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$
@ -736,8 +736,8 @@ $\qed$
sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$.
\begin{align*}
&\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}
&\Rightarrow V \cap (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} = \emptyset)\\
&\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}\\
&\Rightarrow V \cap \left (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} \right) = \emptyset \\
&\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\
&\Rightarrow V \text{ ist Überdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\
&\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen}\\
@ -762,10 +762,10 @@ $\qed$
Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}[Heine-Borel]
\begin{satz}[Heine-Borel]
Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt,
wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
\end{korollar}
\end{satz}
\begin{beweis}
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)