In diesem Kapitel sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
\begin{definition}
\index{Nullmenge}\index{Borel!Nullmenge}
Sei $N\in\fb_d$. $N$ heißt eine \textbf{(Borel-)Nullmenge}, genau dann wenn $\lambda(N)=0$ ist.
\end{definition}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}
\item Ist $N\subseteq\mdr^d$ höchstens abzählbar, so ist $N\in\fb_d$ und $\lambda(N)=0$.
\item Sei $j\in\{1,\dots,d\}$ und $H_j:=\left\{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d : x_j=0\right\}$. Aus Beispiel (5) nach \ref{Satz 2.7} folgt, dass $H_j$ eine Nullmenge ist.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{lemma}
\label{Lemma 5.1}
Seien $M,N,N_1,N_2,\dots\in\fb_d$.
\begin{enumerate}
\item Ist $M\subseteq N$ und $N$ Nullmenge, dann ist $M$ Nullmenge.
\item Sind alle $N_j$ Nullmengen, so ist auch $\bigcup N_j$ eine Nullmenge.
\item$N$ ist genau dann eine Nullmenge, wenn für alle $\ep>0$ offene Intervalle $I_1,I_2,\dots\subseteq\mdr^d$ existieren mit $N\subseteq\bigcup I_j$ und $\sum_{j=1}^\infty\lambda(I_j)\le\ep$.
\item$\mdq$ ist "`klein"': $\mdq$ ist "`nur"' abzählbar.
\item$\mdq$ ist "`groß"': $\overline\mdq=\mdr$
\item$\mdq$ ist "`klein"': $\lambda(\mdq)=0$
\end{enumerate}
\end{bemerkung}
\begin{definition}
\index{für fast alle}
\index{fast überall}
\begin{enumerate}
\item Sei $(E)$ eine Eigenschaft für Elemente in $X$.\\
$(E)$ gilt \textbf{für fast alle} (ffa) $x\in X$, genau dann wenn $(E)$\textbf{fast überall} (fü) (auf $X$) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass $(E)$ für alle $x\in X\setminus N$ gilt.
\item$\int_\emptyset f(x)\text{ d}x:=0$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{satz}
\label{Satz 5.2}
Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
\begin{enumerate}
\item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich.
\item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$.
\item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt:
\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
D.h. $\lvert g \rvert=0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert\,dx =0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert\leq\int_X \lvert g \rvert\,dx =0\]
D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert=0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot\lvert g \rvert\,dx=0$.
\item Setze $N:=\left\{\lvert f\rvert=\infty\right\}$. Aus \ref{Satz 5.2}(1) folgt, dass $N$ eine Nullmenge ist. Sei $x\in X\setminus N$, so ist $x\in\left\{\lvert f\rvert <\infty\right\}$ und $g(x)=f(x)$.
D.h. fast überall ist $f=g$. (Klar: $g$ ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1).
\item\textbf{Fall 1:}$\int_Xf\,dx<\infty$\\
Dann ist $f$ integrierbar, damit ist nach (1) auch $g$ integrierbar und es gilt:
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
\textbf{Fall 2:}$\int_Xf\,dx=\infty$.\\
Annahme: $\int_Xg\,dx<\infty$. Dann gilt nach Fall 1: $\int_Xf\,dx<\infty$. $\lightning$
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{definition}
$(f_n)$ sei eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
\begin{enumerate}
\item$(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass für alle $x\in X\setminus N$$\left(f_n(x)\right)$ in $\imdr$ konvergiert.
\item Sei $f:X\to\imdr$. $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) gegen $f$ genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert mit: $f_n(x)\to f(x)\forall x\in X\setminus N$\\
In diesem Fall schreiben wir: $f_n\to f$ fast überall.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{satz}
\label{Satz 5.4}
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast überall (auf \(X\)).
Dann:
\begin{enumerate}
\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast überall.
\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast überall, so gilt \(f=g\) fast überall.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{bemerkung}
Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung).
