2012-11-26 07:18:09 +01:00
In diesem Kapitel sei $ \emptyset \ne X \in \fb _ d $ . Wir schreiben außerdem $ \lambda $ statt $ \lambda _ d $ .
\begin { definition}
\index { Lebesgueintegral}
Sei $ f:X \to [ 0 , \infty ) $ eine einfache Funktion mit der Normalform $ f = \sum _ { j = 1 } ^ m y _ j \mathds { 1 } _ { A _ j } $ .\\
Das \textbf { Lebesgueintegral} von $ f $ ist definiert durch:
\[ \int _ X f ( x ) \text { d } x: = \sum _ { j = 1 } ^ m y _ j \lambda ( A _ j ) \]
\end { definition}
\begin { satz}
\label { Satz 4.1}
Sei $ f:X \to [ 0 , \infty ) $ einfach, $ z _ 1 , \dots ,z _ k \in [ 0 , \infty ) $ und $ B _ 1 , \dots ,B _ k \in \fb ( X ) $ mit $ \bigcup B _ j = X $ und $ f = \sum _ { j = 1 } ^ k z _ j \mathds { 1 } _ { B _ j } $ . Dann gilt:
\[ \int _ X f ( x ) \text { d } x = \sum _ { j = 1 } ^ k z _ j \lambda ( B _ j ) \]
\end { satz}
\begin { beweis}
In der großen Übung.
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.2}
Seien $ f,g:X \to [ 0 , \infty ) $ einfach, $ \alpha , \beta \in [ 0 , \infty ) $ und $ A \in \fb ( X ) $ .
\begin { enumerate}
\item $ \int _ X \mathds { 1 } _ A ( x ) \text { d } x = \lambda ( A ) $
\item $ \int _ X ( \alpha f + \beta g ) ( x ) \text { d } x = \alpha \int _ X f ( x ) \text { d } x + \beta \int _ X g ( x ) \text { d } x $
\item Ist $ f \le g $ auf $ X $ , so ist $ \int _ X f ( x ) \text { d } x \le \int _ X g ( x ) \text { d } x $ .
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
\begin { enumerate}
\item Folgt aus der Definition und \ref { Satz 4.1} .
\item Es seien $ f = \sum _ { j = 1 } ^ m y _ j \mathds { 1 } _ { A _ j } $ und $ g = \sum _ { j = 1 } ^ k z _ j \mathds { 1 } _ { B _ j } $ die Normalformen von $ f $ und $ g $ . Dann gilt:
\[ \alpha f + \beta g = \sum _ { j = 1 } ^ m \alpha y _ j \mathds { 1 } _ { A _ j } + \sum _ { j = 1 } ^ k \beta z _ j \mathds { 1 } _ { B _ j } \]
Dann gilt:
\begin { align*}
\int _ X (\alpha f+\beta g) & \stackrel { \ref { Satz 4.1} } = \sum _ { j=1} ^ m \alpha y_ j \lambda (A_ j) + \sum _ { j=1} ^ k \beta z_ j \lambda (B_ j)\\
& = \alpha \sum _ { j=1} ^ m y_ j \lambda (A_ j) + \beta \sum _ { j=1} ^ k z_ j \lambda (B_ j)\\
& = \alpha \int _ X f(x)\text { d} x + \beta \int _ X g(x)\text { d} x
\end { align*}
\item Definiere $ h: = g - f $ . Dann ist $ h \ge 0 $ und einfach. Sei $ h = \sum _ { j = 1 } ^ m x _ j \mathds { 1 } _ { C _ j } $ die Normalform von $ h $ , d.h. $ x _ 1 , \dots ,x _ m \ge 0 $ . Dann gilt:
\[ \int _ X h ( x ) \text { d } x = \sum _ { j = 1 } ^ m x _ j \lambda ( C _ j ) \ge 0 \]
Also folgt aus $ g = f + h $ und (2):
\[ \int _ X g ( x ) \text { d } x = \int _ X f ( x ) \text { d } x + \int _ X h ( x ) \text { d } x \ge \int _ X f ( x ) \text { d } x \]
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { definition}
\index { Lebesgueintegral}
Sei $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar. $ ( f _ n ) $ sei eine für $ f $ zulässige Folge. Das \textbf { Lebesgueintegral} von $ f $ ist definiert als:
\begin { align*}
\tag { $ * $ } \int _ X f(x)\text { d} x:=\lim _ { n\to \infty } \int _ X f_ n(x)\text { d} x
\end { align*}
\end { definition}
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\begin { bemerkung} \
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\begin { enumerate}
\item In \ref { Satz 4.3} werden wir sehen, dass $ ( * ) $ unabhängig ist von der Wahl der für $ f $ zulässigen Folge $ ( f _ n ) $ .
\item $ ( f _ n ( x ) ) $ ist wachsend für alle $ x \in X $ , d.h.:
\[ f ( x ) = \lim _ { n \to \infty } f _ n ( x ) = ( \sup _ { n \in \mdn } f _ n ) ( x ) \]
\item Aus \ref { Satz 4.2} (3) folgt dass $ ( \int _ X f _ n ( x ) \text { d } x ) $ wachsend ist, d.h.:
\[ \lim _ { n \to \infty } \int _ X f _ n ( x ) \text { d } x = \sup \Set { \int _ X f _ n ( x ) \text { d } x | n \in \mdn } = \int _ X f _ ( x ) \text { d } x \]
\end { enumerate}
\end { bemerkung}
\textbf { Bezeichnung:} \\
Für messbare Funktionen $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ definiere
\[ M ( f ) : = \Set { \int _ X g \text { d } x \mid g:X \to [ 0 , \infty ) \text { einfach und } g \le f \text { auf } X } \]
\begin { satz}
\label { Satz 4.3}
Ist $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar und $ ( f _ n ) $ zulässig für $ f $ , so gilt:
\[ L: = \lim _ { n \to \infty } \int _ X f _ n \text { d } x = \sup M ( f ) \]
Insbesondere ist $ \int _ X f ( x ) \text { d } x $ wohldefiniert.
\end { satz}
\begin { folgerungen}
\label { Folgerung 4.4}
Ist $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar, so ist $ \int _ X f ( x ) \text { d } x = \sup M ( f ) $ .
\end { folgerungen}
\begin { beweis}
Sei \( \int _ Xf _ n \, dx \in M ( f ) \, \forall \natn \) . Dann ist \[ L = \sup \left \{ \int _ Xf _ n \, dx \mid \natn \right \} \leq \sup M ( f ) \] \\
Sei nun $ g $ einfach und \( 0 \leq g \leq f \) . Sei weiter \[ g = \sum ^ m _ { j = 1 } y _ j \mathds { 1 } _ { A _ j } \] die Normalform von $ g $ .\\
Sei \( \alpha > 1 \) und \( B _ n: = \{ \alpha f _ n \geq g \} \) . Dann ist \[ B _ n \in \fb ( X ) \text { und } ( B _ n \subseteq B _ { n + 1 } \text { , sowie } \mathds { 1 } _ { B _ n } g \leq \alpha f _ n. \]
Sei \( x \in X \) .\\
\textbf { Fall 1:} Ist \( f ( x ) = 0 \) , so ist wegen \( 0 \leq g \leq f \) auch \( g ( x ) = 0 \) . Somit ist \( x \in B _ n \) für jedes \( \natn \) .\\
\textbf { Fall 2:} Ist \( f ( x ) > 0 \) , so ist \[ \frac { 1 } { \alpha } g ( x ) <f ( x ) \] (Dies ist klar für \( g ( x ) = 0 \) und falls gilt: \( g ( x ) > 0 \) , so ist \( \frac { 1 } { \alpha } g ( x ) <g ( x ) \leq f ( x ) \) )\\
Da $ f _ n $ zulässig für $ f $ ist, gilt: \( f _ n ( x ) \to f ( x ) \ ( n \to \infty ) \) , weshalb ein \( n ( x ) \in \mdn \) existiert mit:
\[ \frac { 1 } { \alpha } g ( x ) <f ( x ) \text { für jedes } n \geq n ( x ) \]
Es folgt \( x \in B _ n \) für jedes \( n \geq n ( x ) \) .\\
\textbf { Fazit:} \( X = \bigcup B _ n \) . \[ A _ j = A _ j \cap X = A _ j \cap \left ( \bigcup B _ n \right ) = \bigcup ( A _ j \cap B _ n ) \text { und } A _ j \cap B _ n \subseteq A _ j \cap B _ { n + 1 } \]
Aus \ref { Satz 1.7} folgt \( \lambda ( A _ j ) = \lim \limits _ { n \to \infty } \lambda ( A _ j \cap B _ n ) \) . Das liefert:
\begin { align*}
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\int \limits _ Xg\, dx & = \sum \limits _ { j=1} ^ m y_ j\lambda (A_ j)
= \sum \limits _ { j=1} ^ m y_ j\lim \limits _ { n\to \infty } \lambda (A_ j\cap B_ n)\\
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& =\lim \limits _ { n\to \infty } \sum \limits _ { j=1} ^ m y_ j\lambda (A_ j\cap B_ n)
\overset { \ref { Satz 4.1} } = \lim \limits _ { n\to \infty } \int \limits _ X \mathds { 1} _ { B_ n} g\, dx\\
& \leq \lim \limits _ { n\to \infty } \int \limits _ X \alpha f_ n\, dx
=\alpha L
\end { align*}
g war einfach und \( 0 \leq g \leq f \) beliebig, sodass \[ \sup M ( f ) \leq \alpha L \overset { \alpha \to 1 } \implies \sup M ( f ) \leq L \]
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.5}
Seien $ f,g:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar und $ \alpha , \beta \ge 0 $ .
\begin { enumerate}
\item $ \int _ X ( \alpha f + \beta g ) ( x ) \text { d } x = \alpha \int _ X f ( x ) \text { d } x + \beta \int _ X g ( x ) \text { d } x $
\item Ist $ f \le g $ auf $ X $ , so gilt $ \int _ X f ( x ) \text { d } x \le \int _ X g ( x ) \text { d } x $
\item $ \int _ X f ( x ) \text { d } x = 0 \iff \lambda ( \{ f> 0 \} ) = 0 $
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
\begin { enumerate}
\item \( ( f _ n ) \) und \( ( g _ n ) \) seien zulässig für $ f $ bzw. $ g $ . Weiter sei \( ( h _ n ) : = \alpha ( f _ n ) + \beta ( g _ n ) \) .
Dann ist wegen \ref { Satz 3.7} und \( \alpha , \beta \geq 0 \) , dass \( ( h _ n ) \) zulässig für \( \alpha f + \beta g \) ist. Dann:
\begin { align*}
\int _ X(\alpha f + \beta g)\, dx
& = \lim \limits _ { n\to \infty } \int _ X \left ( \alpha (f_ n)+\beta (g_ n) \right )\, dx\\
& \overset { \ref { Satz 4.2} } = \alpha \lim \limits _ { n\to \infty } \int _ X(f_ n)\, dx + \beta \lim \limits _ { n\to \infty } \int _ X(g_ n)\, dx\\
& =\alpha \int _ Xf\, dx + \beta \int _ Xg\, dx
\end { align*}
\item Wegen \( f \leq g \) auf $ X $ ist \( M ( f ) \subseteq M ( g ) \) und somit auch \( \sup M ( f ) \leq \sup M ( g ) \) . Aus \ref { Folgerung 4.4} folgt nun die Behauptung.
\item Setze \( A: = \{ f> 0 \} = \{ x \in X:f ( x ) > 0 \} \) .
\begin { enumerate}
\item ["'$\implies$"'] Sei \( \int _ Xf \, dx = 0 \) und \( A _ n: = \{ f> \frac { 1 } { n } \} \) . Dann ist \( A = \bigcup A _ n \) und \( f \geq \frac { 1 } { n } \mathds { 1 } _ { A _ n } \) . Damit folgt:
\begin { align*}
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0 = \int _ Xf\, dx
2012-11-26 07:18:09 +01:00
\overset { \text { (2)} } \geq \int _ X\frac 1{ n} \mathds { 1} _ { A_ n} \, dx
=\frac 1{ n} \lambda (A_ n)
\intertext { Es ist also \( \lambda ( A _ n ) = 0 \) und damit gilt weiter}
\lambda (A)=\lambda (\bigcup A_ n) \overset { \ref { Satz 1.7} } \leq \sum \lambda (A_ n)=0
\end { align*}
Also ist auch \( \lambda ( A ) = 0 \) .
\item ["'$\impliedby$"'] Sei \( \lambda ( A ) = 0 \) , \( ( f _ n ) \) zulässig für $ f $ und \( c _ n: = \max \{ f _ n ( x ) :x \in X \} \) . Dann ist \( f _ n \leq c _ n \mathds { 1 } _ A \) und es gilt:
\[ 0 \leq \int _ Xf _ n \, dx \overset { \text { ( 2 ) } } \leq \int _ Xc _ n \mathds { 1 } _ A \, dx = c _ n \lambda ( A ) \overset { \text { Vor. } } = 0 \]
Es ist also \( \int _ Xf _ n \, dx = 0 \) für jedes $ \natn $ und somit auch \( \int _ Xf \, dx = 0 \)
\end { enumerate}
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { satz} [Satz von Beppo Levi (Version I)]
\label { Satz 4.6}
Sei $ ( f _ n ) $ eine Folge messbarer Funktionen $ f _ n:X \to [ 0 , \infty ] $ und es gelte $ f _ n \le f _ { n + 1 } $ auf $ X $ für jedes $ n \in \mdn $ .
\begin { enumerate}
\item Für alle $ x \in X $ existiert $ \lim _ { n \to \infty } f _ n ( x ) $ .
\item Die Funktion $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ definiert durch:
\[ f ( x ) : = \lim _ { n \to \infty } f _ n ( x ) \]
ist messbar.
\item $ \int _ X \lim \limits _ { n \to \infty } f _ n ( x ) \text { d } x = \int _ X f ( x ) \text { d } x = \lim \limits _ { n \to \infty } \int _ X f _ n ( x ) \text { d } x $
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
\begin { enumerate}
\item Für alle $ x \in X $ ist \( \left ( f _ n ( x ) \right ) \) wachsend, also konvergent in \( [ 0 , + \infty ] \) .
\item folgt aus \ref { Satz 3.5} .
\item Sei \( \left ( u _ j ^ { ( n ) } \right ) _ { j \in \mdn } \) zulässig für $ f _ n $ und \( v _ j: = \max \left \{ u _ j ^ { ( 1 ) } , u _ j ^ { ( 2 ) } , \dots , u _ j ^ { ( j ) } \right \} \) .
Aus \ref { Satz 3.7} folgt, dass $ v _ j $ einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt:
\[ 0 \leq v _ j \leq v _ { j + 1 } \text { und } v _ j \leq f _ n \leq f \text { und } f _ n = \sup \limits _ { j \in \mdn } u _ j ^ { ( n ) } \leq \sup \limits _ { j \in \mdn } v _ j \text { ( auf $ X $ ) } \]
Damit ist $ ( v _ j ) $ zulässig für $ f $ und es gilt:
\[ \int _ Xf \, dx = \lim \limits _ { j \to \infty } \int _ Xv _ j \, dx \leq \lim \limits _ { j \to \infty } \int _ Xf _ j \, dx \leq \int _ Xf \, dx \]
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { satz} [Satz von Beppo Levi (Version II)]
\label { Satz 4.7}
Sei $ ( f _ n ) $ eine Folge messbarer Funktionen $ f _ n:X \to [ 0 , \infty ] $ .
\begin { enumerate}
\item Für alle $ x \in X $ existiert $ s ( x ) : = \sum _ { j = 1 } ^ \infty f _ j ( x ) $ .
\item $ s:X \to [ 0 , \infty ] $ ist messbar.
\item $ \int _ X \sum _ { j = 1 } ^ \infty f _ j ( x ) \text { d } x = \sum _ { j = 1 } ^ \infty \int _ X f _ j ( x ) \text { d } x $
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
Setze \[ s _ n: = \sum \limits _ { j = 1 } ^ nf _ j \]
Dann erfüllt \( ( s _ n ) \) die Voraussetzungen von \ref { Satz 4.6} . Aus 4.6 und \ref { Satz 4.5} (1) folgt die Behauptung.
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.8}
Sei $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar und es sei $ \emptyset \ne Y \in \fb ( X ) $ (also $ Y \subseteq X $ und $ Y \in \fb _ d $ ). Dann sind die Funktionen $ f _ { |Y } :Y \to [ 0 , \infty ] $ und $ \mathds { 1 } _ Y \cdot f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar und es gilt:
\[ \int _ Y f ( x ) \text { d } x: = \int _ Y f _ { |Y } ( x ) \text { d } x = \int _ X ( \mathds { 1 } _ Y \cdot f ) ( x ) \text { d } x \]
\end { satz}
\begin { beweis}
\textbf { Fall 1:} Die Behauptung ist klar, falls $ f $ einfach ist. (Übung!)\\
\textbf { Fall 2:} Sei \( ( f _ n ) \) zulässig für $ f $ und \( g _ n: = f _ { n|Y } , h _ n: = \mathds { 1 } _ Y f _ n \)
Dann ist \( ( g _ n ) \) zulässig für \( f _ { |Y } \) und \( ( h _ n ) \) ist zulässig für \( \mathds { 1 } _ Y f _ n \) .
Insbesondere sind \( f _ { n|Y } \) und \( \mathds { 1 } _ Y f _ n \) nach \ref { Satz 3.5} messbar.
Weiter gilt:
\[ \int _ Y f _ { |Y } \, dx \overset { n \to \infty } \longleftarrow \int _ Yg _ n \, dx \overset { Fall 1 } = \int _ Xh _ n \, dx \overset { n \to \infty } \longrightarrow \int _ X \mathds { 1 } _ Yf \, dx \]
\end { beweis}
\begin { definition}
\index { integrierbar} \index { Integral} \index { Lebesgueintegral}
Sei $ f:X \to \imdr $ messbar. $ f $ heißt (Lebesgue-)\textbf { integrierbar} (über $ X $ ), genau dann wenn $ \int _ X f _ + ( x ) \text { d } x< \infty $ \textbf { und} $ \int _ X f _ - ( x ) \text { d } x< \infty $ .\\
In diesem Fall heißt:
\[ \int _ X f ( x ) \text { d } x: = \int _ X f _ + ( x ) \text { d } x - \int _ X f _ - ( x ) \text { d } x \]
das (Lebesgue-)\textbf { Integral} von $ f $ (über $ X $ ).
\end { definition}
\textbf { Beachte:} \\
Ist $ f:X \to [ 0 , \infty ] $ messbar, so ist $ f $ genau dann integrierbar, wenn gilt:
\[ \int _ X f ( x ) \text { d } x< \infty \]
\begin { beispiel}
Sei $ X \in \fb _ 1 $ , $ f ( x ) : = \begin { cases } 1 & ,x \in X \cap \MdQ \\ 0 & ,x \in X \setminus \MdQ \end { cases } = \mathds { 1 } _ { X \cap \MdQ } $ .
$ X, \MdQ \in \fb _ 1 \implies X \cap \MdQ \in \fb _ 1 \implies f $ ist messbar.
\[ 0 \leq \int _ X f ( x ) \text { d } x = \int _ X \mathds { 1 } _ { X \cap \MdQ } \text { d } x = \lambda ( X \cap \MdQ ) \leq \lambda ( \MdQ ) = 0 \]
\textbf { Das heißt:} $ f \in \fl ^ 1 ( X ) $ , $ \int _ X f \text { d } x = 0 $ .
2015-10-14 14:25:34 +02:00
Ist speziell $ X = [ a,b ] \quad ( a<b ) $ , so gilt: $ f \in \fl ^ 1 ( [ a,b ] ) $ , aber $ f \not \in R ( [ a,b ] ) $ .
2012-11-26 07:18:09 +01:00
\end { beispiel}
\begin { satz} [Charakterisierung der Integrierbarkeit]
\label { Satz 4.9}
Sei $ f: X \to \imdr $ messbar. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
\begin { enumerate}
\item $ f $ ist integrierbar.
\item Es existieren integrierbare Funktionen $ u, v: X \to [ 0 , + \infty ] $ mit $ u ( x ) = v ( x ) = \infty $ für \textbf { kein} $ x \in X $ und $ f = u - v $ auf $ X $ .
\item Es existiert eine integrierbare Funktion $ g: X \to [ 0 , + \infty ] $ mit $ \lvert f \rvert \leq g $ auf $ X $ .
\item $ \lvert f \rvert $ ist integrierbar.
\end { enumerate}
\end { satz}
\textbf { Zusatz:}
\begin { enumerate}
\item $ \fl ^ 1 ( X ) = \{ f: X \to \mdr \mid f $ ist messbar und $ \int _ X \lvert f \rvert \text { d } x < \infty \} $ (folgt aus (1)-(4)).
\item Sind $ u,v $ wie in (2), so gilt: $ \int _ X f \text { d } x = \int _ X u \text { d } x - \int _ X v \text { d } x $ .
\end { enumerate}
\begin { beweis} [des Satzes]
\begin { enumerate}
\item [(1) $\Rightarrow$ (2)] $ u: = f _ + $ , $ v : = f _ - $ .
\item [(2) $\Rightarrow$ (3)] $ g : = u + v $ , dann ist $ u,v \geq 0 $ , $ g \geq 0 $ , $ \int _ X g \text { d } x \stackrel { 4 . 5 } { = } \int _ X u \text { d } x + \int _ X v \text { d } x < \infty $ . $ \implies g $ ist integrierbar und: $ |f| = |u - v| \leq |u| + |v| = u + v = g $ auf $ X $ .
\item [(3) $\Rightarrow$ (4)] \ref { Satz 4.5} $ \implies \int _ X |f| \text { d } x \leq \int _ X g \text { d } x < \infty \implies f $ ist integrierbar.
\item [(4) $\Rightarrow$ (1)] $ f _ + , f _ - \leq |f| $ auf $ X $ . $ \implies 0 \leq \int _ X f _ \pm \text { d } x \leq \int _ X |f| \text { d } x < \infty \stackrel { Def. } { \implies } f $ ist integrierbar.
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { beweis} [des Zusatzes]
\begin { enumerate}
\item \checkmark
\item Es ist $ f = u - v = f _ + - f _ - \implies u + f _ - = f _ + + v $ .
\[ \implies \int _ X u \text { d } x + \int _ X f _ - \text { d } x \stackrel { 4 . 5 } { = } \int _ X ( u + f _ - ) \text { d } x = \int _ X ( f _ + + v ) \text { d } x \stackrel { 4 . 5 } { = } \int _ X f _ + \text { d } x + \int _ X v \text { d } x \]
\[ \implies \int _ X u \text { d } x - \int _ X v \text { d } x = \int _ X f _ + \text { d } x - \int _ X f _ - \text { d } x \stackrel { Def. } { = } \int _ X f \text { d } x. \]
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { folgerungen}
\label { Folgerung 4.10}
\label { Satz 4.10}
Sei $ f:X \to \imdr $ integrierbar und $ N : = \{ \lvert f \rvert = + \infty \} = \{ x \in X : \lvert f ( x ) \rvert = + \infty \} $ . Dann ist $ N \in \fb ( X ) $ und $ \lambda ( N ) = 0 $ .
\end { folgerungen}
\begin { beweis}
2015-10-14 14:25:34 +02:00
$ \ref { Satz 3 . 4 } \implies N \in \fb ( X ) . $ $ n \mathds { 1 } _ N \leq \lvert f \rvert $ für alle $ n \in \MdN $ . Dann:
2012-11-26 07:18:09 +01:00
\[ n \cdot \lambda ( N ) = \int _ X n \mathds { 1 } _ N \text { d } x \stackrel { 4 . 5 } { \leq } \int _ X \lvert f \rvert \text { d } x \stackrel { 4 . 9 } { < } \infty \text { für alle } n \in \mdn \]
2015-10-14 14:25:34 +02:00
Also: $ 0 \leq n \lambda ( N ) \leq \int _ X \lvert f \rvert \text { d } x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda ( N ) = 0 $
2012-11-26 07:18:09 +01:00
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.11}
$ f, g: X \to \imdr $ seien integrierbar und es sei $ \alpha \in \mdr $ .
\begin { enumerate}
\item $ \alpha f $ ist integrierbar und $ \int _ X ( \alpha f ) \text { d } x = \alpha \int _ X f \text { d } x $ .
\item Ist $ f + g:X \to \imdr $ auf $ X $ definiert, so ist $ f + g $ integrierbar und es gilt:
\[ \int _ X ( f + g ) \text { d } x = \int _ X f \text { d } x + \int _ X g \text { d } x \]
(Für $ f = + \infty $ und $ g = - \infty $ ist $ f + g $ beispielsweise nicht definiert.)
\item $ \fl ^ 1 ( X ) $ ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung $ f \mapsto \int _ X f \text { d } x $ ist linear auf $ \fl ^ 1 ( X ) $ .
\item $ \max \{ f,g \} $ und $ \min \{ f,g \} $ sind integrierbar.
\item Ist $ f \leq g $ auf $ X $ , so ist $ \int _ X f \text { d } x \leq \int _ X g \text { d } x $ .
\item $ \lvert \int _ X f \text { d } x \rvert \leq \int _ X \lvert f \rvert \text { d } x $ . (Dreiecksungleichung für Integrale)
\item Sei $ \emptyset \ne Y \in \fb ( X ) $ . Dann sind die Funktionen $ f _ { |Y } : Y \to \imdr $ und $ \mathds { 1 } _ Y \cdot f: X \to \imdr $ integrierbar und
\[ \int _ Y f ( x ) \text { d } x : = \int _ Y f _ { |Y } ( x ) \text { d } x = \int _ X ( \mathds { 1 } _ Y \cdot f ) ( x ) \text { d } x \]
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\item Sei $ \lambda ( X ) < \infty $ und $ h: X \to \mdr $ sei messbar und beschränkt. Dann: $ h \in \fl ^ 1 ( X ) $ und $ \lvert \int _ X h \text { d } x \rvert \leq \| h \| _ \infty \lambda ( X ) \quad $ (mit $ \| h \| _ \infty : = \sup \{ |h ( x ) | : x \in X \} $ )
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\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
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\begin { enumerate}
\item folgt aus \( \alpha f ) _ { \pm } = \alpha f _ { \pm } \) , falls \( \alpha \geq 0 \) und \( \alpha f ) _ { \pm } = - \alpha f _ { \mp } \) , falls
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\( \alpha < 0 \) .
\item Es gilt \( f + g = \underbrace { f _ { + } + g _ { + } } _ { = :u } - \underbrace { ( f _ { - } + g _ { - } ) } _ { = :v } = u - v \) . Dann:
\[
\int _ { X} { u\mathrm { d} x} =\int _ { X} { f_ { +} +g_ { +} \mathrm { d} x} \overset { \ref { Satz 4.5} } { =} \int _ { X} { f_ { +} \mathrm { d} x} +\int _ { X} { g_ { +} \mathrm { d} x} <\infty
\]
Genauso: \( \int _ { X } { v \mathrm { d } x } < \infty \) \\
Mit Satz \ref { Satz 4.9} folgt: \( f + g \) ist integrierbar. Weiter:
\begin { align*}
\int _ { X} { (f+g)\mathrm { d} x} & \overset { \ref { Satz 4.9} } { =} \int _ { X} { u\mathrm { d} x} -\int _ { X} { v\mathrm { d} x} \\
& =\int _ { X} { f_ { +} \mathrm { d} x} +\int _ { X} { g_ { +} \mathrm { d} x} -\left (\int _ { X} { f_ { -} \mathrm { d} x} +\int _ { X} { g_ { -} \mathrm { d} x} \right )\\
& =\int _ { X} { f\mathrm { d} x} +\int _ { X} { g\mathrm { d} x}
\end { align*}
\item folgt aus (1) und (2).
\item Mit Satz \ref { Satz 3.5} folgt: \( \max \{ f,g \} \) ist messbar. Es gilt:
\[
0\leq \lvert \max \{ f,g\} \rvert \leq \lvert f\rvert +\lvert g\rvert
\]
Mit \ref { Satz 4.9} und Aussage (2) folgt \( \lvert f \rvert + \lvert g \rvert \) ist integrierbar. Dann folgt mit Satz \ref { Satz 4.9} :
\( \max \{ f,g \} \) ist integrierbar.\\
Analog zeigt man: \( \min \{ f,g \} \) ist integrierbar.
\item Nach Voraussetzung ist \( f \leq g \) auf \( X \) . Dann gilt: \( f _ { + } \leq g _ { + } \) auf \( X \) und \( f _ { - } \geq g _ { - } \) auf \( X \) .
Es folgt:
\[
\int _ { X} { f\mathrm { d} x} =\int _ { X} { f_ { +} \mathrm { d} x} -\int _ { X} { f_ { -} \mathrm { d} x} \overset { \ref { Satz 4.5} } { \leq } \int _ { X} { g_ { +} \mathrm { d} x} -\int _ { X} { g_ { -} \mathrm { d} x} =\int _ { X} { g\mathrm { d} x}
\]
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\item Es ist \( \pm f \leq \lvert f \rvert \) . Mit Aussage (1) und (5) folgt:
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\( \pm \int _ { X } { f \mathrm { d } x } = \int _ { X } { ( \pm f ) \mathrm { d } x } \leq \int _ { X } { \lvert f \rvert \mathrm { d } x } \) .\\
Es ist \( \int _ { X } { f \mathrm { d } x } = \lvert \int _ { X } { f \mathrm { d } x } \rvert \) oder \( - \int _ { X } { f \mathrm { d } x } = \lvert \int _ { X } { f \mathrm { d } x } \rvert \)
\item Mit Bemerkung (2) vor \ref { Satz 3.1} und Satz \ref { Satz 3.6} .(2) folgt: \( f _ { |Y } \) und \( \mathds { 1 } _ { Y } \cdot f \) sind
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messbar. Es gilt: \( ( f _ { |Y } ) _ { \pm } = ( f _ { \pm } ) _ { |Y } \) und \( ( \mathds { 1 } _ { Y } \cdot f ) _ { \pm } = \mathds { 1 } \cdot f _ { \pm } \) . Weiterhin
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gilt \( 0 \leq \mathds { 1 } _ { Y } f _ { \pm } \leq f _ { \pm } \) . Mit \ref { Satz 4.9} folgt dann, daß\ \( \mathds { 1 } _ { Y } f _ { \pm } \) integrierbar
ist. Dann:
\begin { align*}
\int _ { X} { (\mathds { 1} _ { Y} f)\mathrm { d} x} & =\int _ { X} { \mathds { 1} f_ { +} \mathrm { d} x} -\int _ { X} { \mathds { 1} _ { Y} f\mathrm { d} x} \\
& =\underbrace { \int _ { Y} { (f_ { +} )_ { |Y} \mathrm { d} x} } _ { <\infty } -\underbrace { \int _ { Y} { (f_ { -} )_ { |Y} \mathrm { d} x} } _ { <\infty }
\end { align*}
Es folgt: \( f _ { |Y } \) ist integrierbar und \( \int _ { Y } { f _ { |Y } \mathrm { d } x } = \int _ { Y } { ( f _ { + } ) _ { |Y } \mathrm { d } x } - \int _ { Y } { ( f _ { - } ) _ { |Y } \mathrm { d } x } = \int _ { X } { ( \mathds { 1 } _ { Y } f ) \mathrm { d } x } \) .
\item Es ist \( \lvert h \rvert \leq \lVert h \rVert _ { \infty } \cdot \mathds { 1 } _ { X } \) . Dann folgt:
\[
\int _ { X} { \lvert h\rvert \mathrm { d} x} \leq \int _ { X} { \lVert h\rVert _ { \infty } \mathds { 1} _ { X} \mathrm { d} x} =\lVert h\rVert _ { \infty } \lambda (X)<\infty
\]
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Damit: \( \lvert h \rvert \) ist integrierbar und mit \ref { Satz 4.9} auch \( h \) . Da \( h \) beschränkt ist, folgt:
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\( h \in \fl ^ { 1 } ( X ) \) . Schließlich:
\[
\left \lvert \int _ { X} { h\mathrm { d} x} \right \rvert \leq \int _ { X} { \lvert h\rvert \mathrm { d} x} \leq \lVert h\lVert _ { \infty } \lambda (X)
\]
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.12}
\begin { enumerate}
\item Sind $ \emptyset \ne A,B \in \fb ( X ) $ disjunkt, $ X = A \cup B $ und ist $ f: X \to \imdr $ integrierbar (über $ X $ ), so ist $ f $ integrierbar über $ A $ und integrierbar über $ B $ und es gilt:
\[ \int _ X f \text { d } x = \int _ A f \text { d } x + \int _ B f \text { d } x \]
\item Ist $ \emptyset \neq K \subseteq \mdr ^ d $ kompakt und $ f:K \to \mdr $ stetig, so ist $ f \in \fl ^ 1 ( K ) $ .
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
\begin { enumerate}
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\item Aus \ref { Satz 4.11} (7) folgt: $ f $ ist integrierbar über $ A $ und integrierbar über $ B $ . Es ist
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\[ \int _ X f ( x ) \text { d } x = \int _ X \left ( \mathds { 1 } _ { A \cup B } \cdot f \right ) ( x ) \text { d } x = \int _ X \left ( \left ( \mathds { 1 } _ A + \mathds { 1 } _ B \right ) f \right ) ( x ) \text { d } x \]
\[ = \int _ X \left ( \mathds { 1 } _ A f + \mathds { 1 } _ B f \right ) ( x ) \text { d } x \stackrel { 4 . 11 ( 2 ) } { = } \int _ X \mathds { 1 } _ A f \text { d } x + \int _ X \mathds { 1 } _ B f \text { d } x \stackrel { 4 . 11 ( 7 ) } { = } \int _ A f \text { d } x + \int _ B f \text { d } x. \]
\item $ K $ ist kompakt, also gilt: $ \lambda ( K ) < \infty $ . Aus \ref { Satz 3.2} (1) folgt, dass $ f $ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $ f $ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref { Satz 4.11} (8) schließlich: $ f \in \fl ^ 1 ( K ) $ .
\end { enumerate}
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.13}
Seien $ a,b \in \mdr $ , $ a<b $ , $ X: = [ a,b ] $ und $ f \in C ( X ) $ . Dann ist $ f \in \fl ^ 1 ( X ) $ und es gilt:
\[ L - \int _ X f ( x ) \text { d } x = R - \int _ a ^ b f ( x ) \text { d } x \]
\end { satz}
\begin { beweis}
Sei $ \natn $ , $ t _ j ^ { ( n ) } : = a + j \frac { b - a } { n } $ ($ j = 0 , \dots ,n $ ) und $ I _ j ^ { ( n ) } : = \left [ t _ { j - 1 } ^ { ( n ) } ,t _ j ^ { ( n ) } \right ] $ ($ j = 1 , \dots ,n $ ).
\begin { align*}
S_ n:=\sum ^ n_ { j=1} f \left (t_ j^ { (n)} \right ) \underbrace { \frac { b-a} { n} } _ { = \lambda _ 1 \left (I_ j^ { (n)} \right )} \text { ist Riemannsche Zwischensumme für R-} \int _ a^ bf(x)\, dx.
\end { align*}
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Aus Analysis I folgt $ S _ n \to \text { R - } \int _ a ^ bf ( x ) \, dx $ ($ n \to \infty $ ).
Definiere $ f _ n: = \sum ^ n _ { j = 1 } f \left ( t _ j ^ { ( n ) } \right ) \mathds { 1 } _ { I _ j ^ { ( n ) } } $ . Dann ist $ f _ n $ einfach und
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\[ \int _ X f _ n ( x ) \, dx = \sum _ { j = 1 } ^ n f \left ( t _ j ^ { ( n ) } \right ) \lambda _ 1 \left ( I _ j ^ { ( n ) } \right ) = S _ n \]
$ f $ ist auf $ X $ gleichmäßig stetig also konvergiert $ f _ n $ auf $ X $ gleichmäßig gegen $ f $ (Übung!), also gilt:
\[ \lVert f _ n - f \rVert _ { \infty } = \text { sup } \left \{ \lvert f _ n ( x ) - f ( x ) \rvert : x \in X \right \} \to 0 \ ( n \to \infty ) \]
Aus \ref { Satz 4.12} (2) folgt $ f \in \mathfrak { L } ^ 1 ( X ) $
\begin { align*}
\left \lvert \text { L-} \int \limits _ X f(x)\, dx -S_ n \right \rvert = \left \lvert \text { L-} \int \limits _ X (f-f_ n)\, dx \right \rvert \stackrel { \text { 4.11} } \leq \int \limits _ X(f-f_ n)\, dx \stackrel { \text { 4.11} } \leq \lVert f-f_ n \rVert _ { \infty } \underbrace { \lambda (X)} _ { =b-a} \to 0
\end { align*}
Daraus folgt $ S _ n \to $ L- $ \int _ X f \, dx $
\end { beweis}
\begin { satz}
\label { Satz 4.14}
Sei $ a \in \mdr , X: = [ a, \infty ) $ und $ f \in C ( X ) $ . Dann gilt:
\begin { enumerate}
\item $ f $ ist messbar.
\item $ f \in \fl ^ 1 ( X ) $ genau dann wenn das uneigentliche Riemann-Integral $ \int _ a ^ \infty f ( x ) \text { d } x $ \textbf { absolut} konvergent ist. In diesem Fall gilt:
\[ L - \int _ X f ( x ) \text { d } x = R - \int _ a ^ \infty f ( x ) \text { d } x \]
Entsprechendes gilt für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale.
\end { enumerate}
\end { satz}
\begin { beweis}
Eine Hälfte des Beweises folgt in Kapitel \ref { Kapitel 6} .
\end { beweis}
\begin { beispiel}
\begin { enumerate}
\item Sei $ X = ( 0 , 1 ] $ , $ f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { x } } $ . Aus Analysis I wissen wir, dass R-$ \int ^ 1 _ 0 \frac { 1 } { \sqrt { x } } \, dx $ (absolut) konvergent ist. Also ist $ f \in \mathfrak { L } ^ 1 ( X ) $ .\\
Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R-$ \int _ 0 ^ 1 \frac { 1 } { x } $ divergent ist. Also ist $ f ^ 2 \notin \mathfrak { L } ^ 1 ( X ) $ .
\item Sei $ X = [ 0 , \infty ) $ , $ f ( x ) = \frac { \sin ( x ) } { x } $ . Aus Analysis I wissen wir, dass R-$ \int ^ { \infty } _ 1 f ( x ) \, dx $ konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Also ist $ f \notin \mathfrak { L } ^ 1 ( X ) $ .
\end { enumerate}
\end { beispiel}
